射影几何

在机器人的感知系统中，我们需要摄像机来构建三维世界的投影图像，在欧几里德几何学中描述这种变换是比较困难的，不过在射影几何中就简单许多，射影几何的变换可以在齐次坐标系下表示。

• 射影几何 Projective geometry是几何变换的一个可替代方法
• 齐次坐标系homogenous coordinates 在机器人学中广泛应用
• 优势：在射影几何中仿射变换和投影变换可以用一个矩阵的乘法来传达

齐次坐标在电脑图形内无处不在，因为该坐标允许平移、旋转、缩放及透视投影等可表示为矩阵与向量相乘的一般向量运算。要了解齐次坐标系可以先来看一个小孔成像模型

小孔成像模型

• 描述了一个三维世界点在摄像机图像中的投影。

• 假设

  • 有一个无限小的小孔的盒子

• 摄像机中心是射线的交汇点（针孔）。

• 后墙是图像平面image plane

• 摄像机中心和图像平面之间的距离是摄像机常数Camera constant

  Pinhole相机的三个假设

  1. 来自物体的所有射线相交于一个点
  2. 所有图像点都被投射在一个平面上
  3. 从物体点到图像的射线点是一条直线
  • 当然这些假设往往不成立，导致图像不完美。

  

映射属性

• 保留直线信息：直线依旧被映射到直线上
• 角度信息不保留：线之间的角度信息不保留
• 直线比例信息不保留：物体的大小与距离成反比

映射信息损失

• 从3D投射到2D
• 3D信息只有在一些其他信息已知的情况下被恢复
  • 多个角度的图像
  • 背景信息
  • 物体的大小
  • ...