向量与矩阵 | Notion

向量

向量的内积（结果是一个标量）$\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a = \sum_i a_i b_i$
如果向量内积等于0，则这两个向量正交（Orthogonal）
如果其中一个向量$\vec a$满足$||\vec a|| = 1$，则$\vec a \cdot \vec b$ 乘积返回沿 $\vec b$方向的投影的长度

给定两个2D向量 $\vec \alpha, \vec \beta$，则它们的叉积(又称为向量积，vector product)是一个向量:

$\vec\alpha\times\vec\beta=|\vec \alpha||\vec\beta|\sin\theta\vec n$

长度是： a 的长度乘以 b 的长度乘以 a 和 b 之间的角的正弦

然后我们乘以矢量 n 来确保结果是指着正确的方向（垂直于 a 和 b）。

若叉积指着相反的方向，它仍然是垂直于相乘的两个矢量，所以我们这样来求正确的方向："右手定则"

把食指指着矢量 a 的方向，把中指指着矢量 b 的方向：拇指指着的方向便是叉积的方向。

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如果$\vec b = \sum_i k_i \vec a_i$ , 向量$\vec b$ 对$\{\vec a_1, \vec a_2, ... , \vec a_n \}$ 线性依赖
如果不存在$\{k_i\}$ 使得$\vec b = \sum_i k_i \vec a_i$ , 向量$\vec b$ 对$\{\vec a_1, \vec a_2, ... , \vec a_n \}$ 线性独立

矩阵被写成了一个数值的表格
矩阵可以看做向量集合
乘以一个标量
- 在标量乘法中，向量或矩阵的每个元素都与标量相乘。
求和（交换律、结合律）
- 两个矩阵之和是一个由各个条目的对偶之和组成的矩阵
矩阵向量相乘（结果是向量）
- $A \cdot \vec b$ 的结果是一个向量，向量的第$i$个元素是$\vec a^T_{i*} \cdot \vec b$
- 向量$A \cdot \vec b$的结果线性依赖于$\{\vec a_{*i}\}$, 系数是$\{b_i\}$
矩阵与矩阵乘法
- 行向和列向的点积
- 以B矩阵列向量为缩放系数的A矩阵列向量的线性组合